☛ *** C'est le milieu ?

Énoncé

Soit \(\text{ABCD}\) un parallélogramme non aplati. Soit \(\text E\) et \(\text F\) les symétriques du point \(\text A\), respectivement, par rapport aux points \(\text B\) et \(\text D\). Le point \(\text C\) est-il le milieu du segment \([\text{EF}]\) ?

Solution

On sait que \(\text{ABCD}\) est un parallélogramme. Donc \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{DC}}}\).

On sait que \(\text E\) est le symétrique du point \(\text A\) par rapport au point \(\text B\).
Ceci signifie que \(\text B\) est le milieu du segment \([\text{AE}]\). Donc \(\boxed{\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{BE}}}\).

Par conséquent, à l'aide des deux égalités précédentes, on peut affirmer que \(\boxed{\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{DC}}}\).

Or, si on a \(\overrightarrow{\text{BE}} = \overrightarrow{\text{DC}}\), alors le quadrilatère \(\text{BECD}\) est un parallélogramme et on a \(\boxed{\color{green}{\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{EC}}}}\).

De même, on sait que \(\text{ABCD}\) est un parallélogramme. Donc \(\boxed{\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}}\).

On sait que \(\text F\) est le symétrique du point \(\text A\) par rapport au point \(\text D\).
\(\)Ceci signifie que \(\text D\) est le milieu du segment \([\text{AF}]\). Donc \(\boxed{\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{DF}}}\).

Par conséquent, à l'aide des deux égalités précédentes, on peut affirmer que \(\boxed{\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{DF}}}\).

Or, si on a \(\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{DF}}\), alors le quadrilatère \(\text{BCFD}\) est un parallélogramme et on a \(\boxed{\color{red}{\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{CF}}}}\).

À l'aide des égalités \(\color{green}{\text{verte}}\) et \(\color{red}{\text{rouge}}\), on peut affirmer que \(\boxed{\color{green}{\overrightarrow{\text{EC}}} = \color{red}{\overrightarrow{\text{CF}}}}\).

Donc le point \(\text C\) est le milieu du segment \([\text{EF}]\).